剩余格上的滤子诱导线性拓扑：豪斯多夫性、profinite 性和有限性条件

我们研究了由滤子系统生成的剩余格上的线性拓扑，重点研究了它们确定的均匀结构和分离性质。一个向下有向的滤子族给出了一个自然的相容均匀结构，相关的拓扑使剩余格成为一个拓扑代数。我们通过底层滤子系统的交的平凡性来刻画豪斯多夫性。对于紧致拓扑剩余格，我们证明了拓扑 profinite 性、剩余有限性以及作为有限离散剩余格的闭子直接积的表示之间的等价性。我们还分析了滤子上的降链条件 ($DCC$)。在 $DCC$ 下，每个滤子系统都有一个最小元；因此每个零维线性拓扑都由单个滤子诱导，并且从滤子到零维线性拓扑的典范映射是双射。这给出了早期表示论证的修正形式，并精确指出了 $DCC$ 在何处是必需的。最后，我们全程在 $\mathrm{ZFC}$ 中工作，给出了非离散豪斯多夫线性拓扑存在的充分判据，并以 G\"{o}del 代数为例加以说明。