超越条件数的更快量子线性系统求解器

谱条件数是量子线性系统求解器最坏情况代价的广泛采用的度量。然而，对于典型问题实例，它可能显著高估实际运行时间。我们提出两种量子算法，以精度 $\epsilon$ 产生线性系统 $Ax=| b \rangle$ 的归一化解 $|x\rangle$，其复杂度与条件数 $\kappa=\lVert A^{-1}\rVert$ 无关。我们关注标准输入模型，其中 $A$ 通过块编码访问，$| b \rangle$ 由酉算子制备。但我们也引入一种仿射膨胀模型，联合编码 $A$ 和 $| b \rangle$，从而进一步细化查询复杂度。我们的基于截断的求解器对 $| b \rangle$ 进行最优次数的查询，并对 $A$ 进行 $\operatorname{\mathbf{O}}\left(\kappa_{\mathrm{eff}}\operatorname{polylog}\left(\frac{\kappa_{\mathrm{eff}}}{\epsilon}\right)\right)$ 次查询。我们证明了有效条件数的一族上界，包括对于正偶数 $t$ 的 $\kappa_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert(A^\dagger A)^{-t/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{\epsilon^{1/t}}$ 和对于正奇数 $t$ 的 $\kappa_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert A^{-1\dagger}(A^\dagger A)^{-(t-1)/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{\epsilon^{1/t}}$，克服了 $\kappa$ 障碍。我们的基于滤波的求解器极其简单，且具有有利的运行时间前因子。特别地，当解范数已知时，该求解器在前导阶具有查询复杂度 $6\frac{\lVert A^{-1\dagger}|x\rangle\rVert}{\epsilon}\ln\left(\frac{1}{\epsilon}\right)$。然后我们提出一个同样简单的解范数估计器，其渐近代价相同，直至对数因子。因此，我们的量子线性系统求解器显著改进了 Li 最近的一个算法，实现了超越条件数的更快量子线性系统求解。