具有费米子元矩阵强收敛的失效

设 $Q^{(k)}_N$ 为 $N\times N$ 矩阵，其元素满足 CAR，并按 CAR 代数的迹归一化使得方差为 $1/\sqrt{N}$。我们证明，尽管单个矩阵 $Q^{(k)}_N$ 的实部的算子范数在 $N\to\infty$ 时收敛到半圆极限，但该矩阵族并不强收敛到自由概率极限。事实上，即使 $Q^{(k)}_N$（$k=1,\dots,M$）的实部和虚部的线性张成的算子空间结构也不收敛到半圆极限。