对数凸尾部下凸包界的失效

固定$0<r<1$，设$X_1,X_2,\dots$为独立的对称Weibull$(r)$随机变量，即$$\textsf{P}(|X_i|>t)=e^{-t^r},\qquad t\ge 0.$$ 我们证明不存在仅依赖于$r$的常数$C_r$具有如下普适性质：对每个有限集$T\subset \R^N$，存在序列$(y_k)_{k\ge 1}\subset \R^N$使得$$T-T\subset conv\{y_k:k\ge 1\}, \qquad \|X_{y_k}\|_{L_{\log(k+2)}}\le C_r\,\bx(T) \quad (k\ge 1),$$ 其中$X_t=\sum_i t_i X_i$且$\bx(T)=\textsf{E}\sup_{t\in T}X_t$。这否定了Lata{\l}a关于典型Weibull过程凸包界有效性的问题。事实上，即使允许凸包中出现的辅助向量是任意的，这种失效仍然存在。