因子化低秩矩阵恢复问题、Schatten-$q$ 拟范数、临界点误差界、Kurdyka-Łojasiewicz 性质、不精确近端交替线性化最小化
最优化与控制
2026-06-29 v1
摘要
Schatten- 拟范数是一种广泛使用的非凸秩替代，矩阵分解是降低计算成本的有效方法。在本文中，我们考虑了 Schatten- 范数正则化低秩矩阵恢复问题的等价群稀疏因子化重构。尽管这种因子化模型表现出良好的性能，但仍存在两个问题：（i）临界点的误差界尚未探索；（ii） 的近端算子对于一般 缺乏闭式解，限制了算法采用固定的 ，如 或 。本文解决了这两个问题。我们研究了因子化问题临界点的性质，并表明与核范数相比，Schatten- 范数隐含地赋予临界点列正交性。基于这一见解，我们在温和条件下引入了 S-临界点的概念，该条件确保列正交性，并具有易于操作的标准来识别。我们证明了全局最优点必须是 S-临界点，并推导了 S-临界点与真实矩阵之间的误差界。我们进一步提出了一种用于因子化问题的不精确近端交替线性化最小化方法，以及 的实用可计算不精确近端算子和寻找满足不精确性条件的解的标准，并在 Kurdyka--\L ojasiewicz 条件下建立了整个序列收敛性和收敛速度保证。此外，我们证明了具有最小二乘损失的因子化模型在 S-临界点处具有 KL 指数 ，则在适当条件下迭代线性收敛。大量数值实验验证了我们算法的有效性，并证实了因子化模型的理论性质。
引用
@article{arxiv.2606.29973,
title = {Factorized low-rank matrix recovery problem, Schatten-$q$ quasi-norm, Error bound for critical point, Kurdyka-Łojasiewicz property, Inexact proximal alternating linearized minimization},
author = {Yongjun Chen and Defeng Sun and Liping Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2606.29973},
year = {2026}
}