正整数双射编码下无标号多叉有根树的极值秩

Maranca 和 Rosenberg (2024) 设计了一种无标号多叉有根树的排序方案，其中树与正整数双射关联。在此，我们推广了先前关于二叉树的结论，对于具有固定叶子数的树，确定了哪些多叉树获得最大和最小秩。我们针对两组无标号多叉有根树分别确定了这些最大化树和最小化树：严格 $k$ 叉树，其中每个内部节点恰好有 $k$ 个后代；以及至多 $k$ 叉树，其中内部节点至少有 2 个且至多有 $k$ 个后代。在两种情况下，我们都发现可被视为最大平衡的树获得最小秩，而最小平衡的树获得最大秩。我们推导了在严格 $k$ 叉和至多 $k$ 叉两种情况下，具有固定叶子数的树的最大和最小秩的递推关系。在严格 $k$ 叉情况下，$(n-1)(k-1)+1$ 个叶子上的最大秩以 $(k!)^{\frac{1}{k-1}} \beta_k^{(k^n)}$ 增长；在至多 $k$ 叉情况下，$n$ 个叶子上的最大秩以 $(k!)^{\frac{1}{k-1}} \gamma_k^{(k^n)}$ 增长，其中 $\beta_k > 1$ 和 $\gamma_k > 1$ 是依赖于 $k$ 值的常数。我们证明了 $\beta_k$ 随着 $k$ 值的增加而减小，并且对于 $k \geq 3$，$\gamma_k > \beta_k$。这些结果有助于使用树编码对系统发育进行经验表征和树平衡度的测量。