抛物型偏微分方程可观测量量子估计中网格依赖性的指数级降低

量子PDE算法能否避免解析细空间网格的多项式成本？对于标准的固定阶离散化，直接经典方法需要的工作量与$h^{-1}$成多项式关系，或者等价地与空间自由度数量$N_h=\Theta(h^{-d})$成多项式关系。抛物型半群的直接量子实现仍然具有$\widetilde{\mathcal O}(\sqrt{T}/h)$的相干复杂度，而依赖于梯度的可观测量（如热通量和耗散）会引入额外的网格依赖性。解范数的衰减将进一步抑制制备归一化最终态的后选择概率。我们开发了一种多级量子算法，直接估计线性和二次可观测量，并在测量前将粗细网格抵消置于电路内部。基于轮廓的LCU从移位预解差的相干族中重建每个目标时间的校正。我们不分别块编码细网格和粗网格的逆，而是通过移位的Ritz-Schur分解编码它们的差，揭示其$\mathcal O(h_\ell^2)$的两网格归一化。对于Fourier层级，相应的SELECT oracle由量子Fourier或正弦变换、谱带选择器和可逆对角算术组成。我们还给出了一种基于一维能量正交二进中点细节的非Fourier实现，以及在固定秩系数和访问假设下的结构化张量积扩展。对于导数阶$0\le\chi\le2$的读出，优化的振幅估计消除了对最细网格尺寸的所有多项式依赖性。在所述访问假设下，线性和二次可观测量都可以用复杂度$\widetilde{\mathcal O}(1+(T\epsilon)^{-1})$估计，对$h^{-1}$仅具有多对数依赖性。