$\phi^4_1$ 测度在尖锐界面限制下的渐近行为

我们考虑在长度为 $\ell$ 的区间内的 $\phi^4_1$ 测度，由对称双井势 $W$ 和逆温度 $\beta$ 定义。我们的结果关其在联合极限 $\beta, \ell \to \infty$ 下的渐近行为，分别处于亚临界 regime $\ell \ll \mathrm{e}^{\beta C_W}$ 和超临界 regime $\ell \gg \mathrm{e}^{\beta C_W}$，其中 $C_W$ 表示表面张力。在前者情况下，即测度浓度集中于纯相的情况下，我们证明了相应的大偏差原理。关联的速率函数是考虑界面位置熵的 Modica-Mortola 泛函。进一步，我们提供了给定纯相之间转换次数概率的尖锐渐近结果。在超临界 regime 中，测度不再浓度集中，我们显示界面按泊松点过程分布。