具有 CNOT 与行复杂度 $4n-\mathrm{o}(n)$ 及局部逻辑门的 $\mathbb Z_2$ 上显式矩阵

在本文中，我们给出了 $\mathbb Z_2$ 上一族显式的 $n\timesimes n$ 可逆矩阵，其 CNOT 与行复杂度至少为 $4n-\text{o}(n)$；等价地，将这些矩阵化为单位矩阵需要至少 $4n-\text{o}(n)$ 次初等行变换。此外，在将 CNOT 门替换为任意局部线性逻辑门（即作用于坐标对的任意可逆线性变换）的更强计算模型中，同样的复杂度下界依然成立。设 $G_n$ 为作用于长度为 $n$ 的二进制串集合上的局部逻辑门生成的置换群。我们证明 $G_n$ 自然同构于向量空间 $\mathbb Z_2^n$ 的所有可逆仿射变换构成的群，从而将估计 $G_n$ 中置换的量子复杂度的问题归结为 $\mathbb Z_2$ 上可逆矩阵的行归约复杂度问题。作为应用，我们证明与我们的显式矩阵相关联的置换具有至少 $4n-\text{o}(n)$ 的量子复杂度。