具有奇数 $b_+$ 的可约 $4$-流形上的奇异微分同胚

如果 $4$-流形的一个微分同胚与恒等映射连续同伦但不光滑同伦，则称其为奇异的。Ruberman 在单连通闭 $4$-流形上构造了第一个奇异微分同胚的例子。他的例子是可约 $4$-流形，为了能被族 Seiberg--Witten 或 Donaldson 不变量检测到，它们必然具有偶数 $b_+$。后来 Konno 和 Baraglia 在具有奇数 $b_+$ 的不可约 $4$-流形上构造了奇异微分同胚。在本文中，我们将在具有奇数 $b_+$ 的可约 $4$-流形上构造奇异微分同胚。奇异性通过族 Bauer--Furuta 不变量来检测。在证明我们的结果时，我们需要处理无框架的族模空间，因此不产生框架配边不变量。我们通过考虑一个取值于 pin-配边的 Bauer--Furuta 型不变量来克服这个困难。除了构造奇异微分同胚，我们还发现了映射类群不是有限生成的单连通 $4$-流形的新例子。