Cantor 级数展开中实数的精确逼近阶

设 $Q = \{q_n\}_{n \ge 1}$ 为整数序列，且对所有 $n \in\mathbb{N}$ 有 $q_n \ge 2$。对于任意实数 $x \in [0,1)$，它可以展开为如下无穷级数：$$x =\frac{\varepsilon_1(x)}{q_1}+ \frac{\varepsilon_2(x)}{q_1 q_2}+ \cdots+ \frac{\varepsilon_n(x)}{q_1 q_2 \cdots q_n}+ \cdots,$$ 这称为 $x$ 的 Cantor 级数展开。我们引入 Cantor 级数展开中的精确逼近阶。它类似于经典丢番图逼近中出现的概念。更精确地说，令 $\omega_n(x)$ 表示 $x$ 的 Cantor 级数展开的第 $n$ 个部分和。对于任意单调函数 $\psi$，我们研究由 $\omega_n(x)$ 精确 $\psi$-可逼近的点集 $E_c(\psi)$ 的度量理论。