二进制秩 Reed-Muller 码的递归解码与矩阵码的 Plotkin 构造

2021年，Augot、Couvreur、Lavauzelle和Neri提出了一类新的秩距离码，这些码可被视为秩距离 Reed-Muller 码的对应物。在给定有限伽罗域扩张 $\mathbb{L} / \mathbb{K}$ 的情况下，这些码被定义为扭转群代数 $\mathbb{L} [\textrm{G}]$ 中特定的 $\mathbb{L}$-子空间。我们研究了此类码在"二进制"情况下的解码，即 $\textrm{G} = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^m$。我们的方法灵感来自于基于 Hamming 距离二进制 Reed-Muller 码使用其递归 Plotkin "$(u ~|~ u+v)$" 结构的解码方式。如果我们的递归算法仅适用于特定子类的数据秩 Reed-Muller 码，其渐近复杂度优于最近提出的用于任意数据秩 Reed-Muller 码的解码算法（基于 Dickson 矩阵）。此外，此解码器性质完全不同，导致一种自然的数据秩对应物的 Plotkin 构造。为说明这一点，我们还提出了一种通用的 Plotkin 类似构造，用于矩阵秩距离码，伴随一个解码器，可应用于任何具有高效解码器的码对。