通过 Thom 谱的等变扭曲 $R$-代数

对于 $C_2$-交换环谱 $R$，扭曲 $R$-代数是一个 $R$-模，其乘法的阶被 $C_2$-作用交换。在本文中，当 $R$ 是一个偶实交换环谱时，我们构造了 $R$ 的各种商作为扭曲 $R$-代数。这些是通过 $S^1$ 和 $U(n)$ 上合适的 $C_2$-作用的 Thom 谱构造的。一个这样的例子由 $K\mathbb{R}$ 给出，它被赋予了一个扭曲 $K\mathbb{R}$-代数结构。其他例子包括实配边谱 $M\mathbb{R}$ 上的商，如 $M\mathbb{R}/(2,x_1,\dots, x_{n-1})$，以及作为实 Morava $E$-理论谱上的模的实 $2$-周期 Morava $K$-理论。在扭曲 $R$-代数的背景下，可以考虑实拓扑 Hochschild 同调，对于 Thom 谱，有一个很好的公式再次作为 Thom 谱。我们利用这一点来计算 $K\mathbb{R}/2$ 作为扭曲 $K\mathbb{R}$-代数的实拓扑 Hochschild 同调。该计算还涉及单位谱 $gl_1K\mathbb{R}$ 的一个分裂，这是经典 $K$-理论单位分裂的类似物。