切片群胚的等变上同调

设 $G$ 为紧致李群，$M$ 为具有 $G$ 作用的光滑流形，则该模型的所有数据都包含在作用群胚 $G\ltimes M$ 中。若 $U_y$ 是 $y\in M/G$ 的足够小的邻域，切片定理表明 \begin{equation*} \pi^{-1}(U_y)=S_{x}\times_{G_{x}} G \end{equation*} 其中 $x$ 是 $y$ 轨道中的一点，$S_x$ 是 $x$ 的切片，$G_x$ 是 $x$ 的迷向群。描述空间上群作用的另一种方法是通过群胚的语言。李群胚的局部性质通常通过线性化定理来研究。可以利用 Weil 模型或 Cartan 模型计算 $\pi^{-1}(U_y)$ 的等变上同调 $H_G(\pi^{-1}(U_y))$。此外，根据同伦理论，等变上同调 $H_G(\pi^{-1}(U_y))$ 与 $H_{G_x}(S_x)$ 是同构的。本文中，我们显式地构造了 $(\pi^{-1}(U_y), G)$ 与 $(S_x, G_x)$ 的 Weil（或 Cartan）模型之间的自然链映射，并证明它在等变上同调中诱导同构。随后，我们引入了切片（或局部可线性化）群胚的概念，它们局部上以具有粘合数据的流形上的李群作用为模型，并讨论了若干例子和应用。在最后一节中，我们利用层论方法将这些等变理论推广到这些群胚。我们进一步证明了等变上同调在 Morita 等价下不变。