提升多层网络全局效率

对由不同类型对象构成的复杂系统建模会导致多层网络，其中顶点通过层间与层内边相连。本文研究多层网络（multiplex networks），其中不同层中的顶点彼此对应，且唯一的层间边是将顶点与其在其他层中的副本相连的边。令三阶邻接张量 $\mathcal{A}\in\R^{N\times N\times L}$ 与参数 $\gamma\geq 0$（其与层间通信的便利程度相关）表示一个具有 $N$ 个顶点与 $L$ 层多层网络。为度量多层网络中的通信便利程度，我们关注平均逆测地距离，借助多层路径长度矩阵 $P\in\R^{N\times N}$ 称之为多层全局效率 $e_\mathcal{A}(\gamma)$。本文推广了 \cite{NR23} 中针对单层网络的方法。我们描述了一种基于最小加矩阵乘法来构造 $P$ 的算法，以及仅考虑由至多 $K$ 条层内边构成的多层路径的变体 $P^K$。这些矩阵被用于检测冗余边，并确定 $e_\mathcal{A}(\gamma)$ 的非递减下界 $e_\mathcal{A}^K(\gamma)$，其中 $K=1,2,\dots,N-2$。最后，研究了 $e_\mathcal{A}^K(\gamma)$ 对邻接张量 $\mathcal{A}$ 元素变化的敏感性，以确定应被加强以提升多层全局效率最多的边。