同步网络中的节能分布式算法

我们研究 LOCAL 和 CONGEST 模型中节能算法的设计。具体而言，作为一种复杂度度量，我们考虑在所有边或所有节点上取最大值，即一条边或一个节点在算法中处于活跃状态的轮数。我们首先证明每个图灵可计算问题都有一个具有常数节点激活复杂度的 CONGEST 算法，因此也具有常数边激活复杂度。也就是说，每个节点（相应地为边）在算法整个执行过程中仅活跃于发送（相应地为传输）消息 $O(1)$ 轮。换言之，每个图灵可计算问题都可以由消耗最少可能能量的算法求解。在 LOCAL 模型中，显然同样成立，但具有额外特性：算法在 $n$ 节点网络中运行 $O(\mbox{poly}(n))$ 轮。然而，我们证明在 CONGEST 模型中坚持算法运行 $O(\mbox{poly}(n))$ 轮会在能量方面带来严重代价。即，在 CONGEST 模型中，当由限定运行 $O(\mbox{poly}(n))$ 轮的算法求解时，存在需要 $\Omega(\mbox{poly}(n))$ 边激活（因而也需要 $\Omega(\mbox{poly}(n))$ 节点激活）的问题。最后，我们证明了在限定运行 $O(\mbox{poly}(n))$ 轮的 CONGEST 模型中，边激活复杂度与节点激活复杂度之间存在明显分离。具体而言，在此约束下，存在一个具有 $O(1)$ 边激活复杂度但 $\tilde{\Omega}(n^{1/4})$ 节点激活复杂度的问题。