单粒子密度矩阵和单粒子动能密度算子的特征值渐近

设$\psi({\mathbf x})$, ${\mathbf x} \in{\mathbb R}^{3N}$，是$N$粒子原子薛定谔算子的一个本征函数。我们考虑与$\psi$相关的单粒子密度矩阵$\gamma(x, y)$和单粒子动能密度$\varkappa(x, y)$，$x, y\in {\mathbb R}^3$。这两个函数在原子和分子束缚态的量子化学计算中起着核心作用：知道以$\gamma(x, y)$和$\varkappa(x, y)$为核的积分算子${\sf{\Gamma}}$和${\sf{K}}$的特征值行为有助于估计有限维近似引起的误差。我们找到了它们的特征值$\lambda_k({\sf{\Gamma}})>0$和$\lambda_k({\sf{K}})>0$的以下渐近公式：$$\lim_{k\to \infty} k^{\frac{8}{3}} \,\lambda_k({\sf{\Gamma}}) = A^{\frac{8}{3}},\quad \lim_{k\to \infty} k^2\,\lambda_k({\sf{K}}) = B^2,$$ 其中$A$和$B$是由$\psi$显式给出的非负常数。这些渐近性由函数$\psi$在粒子对聚结点处的奇异性决定。为了识别和分离这些奇点，我们使用了$\psi$的一些最新正则性结果。在最后一步，我们应用了Birman-Solomyak关于具有齐次符号的伪微分算子的谱渐近结果。在本征函数$\psi$完全反对称的特殊情况下，它表现出增强的正则性，这导致特征值$\lambda_k(\sf{\Gamma})$和$\lambda_k(\sf{K})$衰减更快。渐近公式的形式为 $$\lim_{k\to \infty} k^{\frac{10}{3}} \,\lambda_k({\sf\Gamma}) = \big(A_{asym}\big)^{\frac{10}{3}},\quad \lim_{k\to \infty} k^{\frac{8}{3}} \,\lambda_k({\sf K}) = \big(B_{asym}\big)^{\frac{8}{3}},$$ 其中$A_{asym}$和$B_{asym}$是由$\psi$的梯度显式给出的非负常数。