高效量子模归约：Crandall 归约及其容错资源分析

模运算是密码学问题量子算法的核心，包括 Shor 算法与基于 Grover 的密码分析，其中模归约对电路成本贡献显著。伪梅森模数 $q=2^n-c$ 允许经典 Crandall 归约以折叠与常数算术替代除法，为比 Barrett 归约更高效的量子模归约提供了结构性机会。我们通过推导 $2n$ 比特输入的显式折叠与归一化条件，将这一优势转化为可逆量子设定。据我们所知，这构成了 Crandall 归约的首个精确可逆量子电路表述。基于该表述，我们开发了两种变体：Crandall 归约-1 旨在通过一步归一化最小化执行成本，而 Crandall 归约-2 使用两步归一化以有限开销支持更宽范围的 $c$。逻辑资源估计表明，两种变体所需的量子比特数更少，T-count 与 T-depth 均低于优化的折叠 Barrett 归约。在 $n=10$ 时，Crandall 归约-1 相对于优化的折叠 Barrett 归约将 T-count 与 T-depth 均降低约 46.9%。表面码分析进一步表明，在 $n=20$ 且采用 Sparse Blossom 解码器时，两种变体的估计运行时间分别为 30.05 ms 与 35.39 ms，而优化的折叠 Barrett 归约为 53.77 ms。这些结果证明了在容错量子电路设计中利用模数特定算术结构的实用价值。