基于近邻 Markov chain Monte Carlo 的高效 Bayesian 计算：当 Langevin 遇见 Moreau

现代成像方法严重依赖 Bayesian 推断技术来解决具有挑战性的成像问题。目前，主流的 Bayesian 计算方法是凸优化，它能非常高效地扩展到高维图像模型，并提供准确的点估计结果。然而，为了进行更复杂的分析，例如图像不确定性量化或模型选择，有必要使用计算量更大的 Bayesian 计算技术，如 Markov chain Monte Carlo 方法。本文提出了一种新型且高效的 Markov chain Monte Carlo 方法，用于对成像科学中核心的对数凹且非光滑的高维模型进行 Bayesian 计算。该方法基于正则化无调整 Langevin 算法，利用凸分析工具，即 Moreau-Yoshida 包络和近邻算子，来构建具有良好收敛性质的 Markov 链。该方法不仅能高效扩展到高维，而且可直接应用于目前使用近邻优化算法求解的模型。我们对所提出的方法进行了详细的理论分析，包括具有易于验证条件的渐近和非渐近收敛结果，以及收敛速率的显式界限。所提出的方法通过四个与全变差和 $\ell_1$ 先验的图像反卷积和层析重建相关的实验进行了演示，在这些实验中，我们开展了一系列与无真值情况下的不确定性量化、假设检验和模型选择相关的具有挑战性的 Bayesian 分析。