低熵正则化条件下 Sinkhorn 算法的有效动力学

Sinkhorn 算法是数值求解有限集上熵正则化最优传输问题的事实标准方法。在这项工作中，我们研究了当 Sinkhorn 算法应用于小正则化参数 $\tau$ 时出现的一种现象：对偶变量（缩放因子的对数）的演化近似分段线性，而原始变量（近似传输计划）表现出鞍点到鞍点的行为。我们证明，当 $\tau \to 0$ 时，Sinkhorn 迭代确实收敛到与这些观察一致的连续时间曲线，当时间重新缩放为 $t = \tau k$ 时，我们明确刻画了极限的“冷 Sinkhorn”动力学。特别地，我们表明它作为无正则化问题的对偶优化动力学，具有类似于单纯形算法的性质。值得注意的是，该动力学在有限时间内收敛到无正则化解，这意味着 Sinkhorn 算法本身的一个新保证：它在 $k = O(\tau^{-1})$ 次迭代内实现 $\tilde{O}(\tau)$ 的对偶次优性，而不是现有分析所建议的 $k = O(\tau^{-2})$。