二维移位自同构与Higman--Thompson群III：扩张

我们旨在解释移位动力系统自同构理论中的一些重要构造，将其与Higman--Thompson群$G_{n,r}$的外自同构群$\mathcal{O}_{n,r}$的子群$\mathcal{L}_{n,r}$联系起来，并将$\operatorname{Aut}(X_n^{\mathbb{Z}}, \sigma_{n})$中的结果推广到自同构群$\operatorname{Aut}(G_{n,r})$和Higman--Thompson群$G_{n,r}$的外自同构群。我们的主要结果是给出了“惰性子群”（自同构群研究中的一个重要子群）的具体实现，即作为$\mathcal{L}_{n,n-1}$的子群$\mathcal{K}_{n}$。利用这一实现，我们证明了$\operatorname{Aut}(G_{n,r})$包含$\operatorname{Aut}(X_{m}^{\mathbb{Z}}, \sigma_{m})$的同构副本，对所有$m \ge 2$成立。文献调研进一步表明，$\operatorname{Aut}(G_{n,r})$包含有限群、有限生成阿贝尔群、自由群、有限群的自由积、二维流形的基本群、图群以及可数局部有限剩余有限群等的同构副本。我们将$\operatorname{Aut}(X_n^{\mathbb{Z}}, \sigma_{n})$的一个结果推广到群$\mathcal{O}_{n,n-1}$。$X_n^{\mathbb{Z}}$上的同胚$\overleftarrow{\phantom{a}}$将序列$(x_i)_{i \in \mathbb{Z}}$映射到序列$(y_{i})_{i \in \mathbb{Z}}$，其中$y_{i} = x_{-i}$，这诱导了$\operatorname{Aut}(X_n^{\mathbb{Z}}, \sigma_{n})$的一个自同构$\overleftarrow{\mathfrak{r}}$，进而诱导了$\mathcal{L}_{n}$的一个自同构。我们将自同构$\overleftarrow{{\mathfrak{r}}}$推广到群$\mathcal{O}_{n,n-1}$。在即将发表的文章中，我们将证明群$\mathcal{O}_{n}$与$n$个字母上的完全移位映射类群同构。