在二部洞条件下的边不相交哈密顿圈

2017 年，McDiarmid 和 Yolov 引入了二部洞数 $\widetilde{\alpha}(G)$ 并证明了 $\delta(G)\ge \widetilde{\alpha}(G)$ 强制存在哈密顿圈。他们还给出了打包边不相交哈密顿圈的充分条件，并询问该条件是否尖锐或可以放宽。对于整数 $a,k\ge 2$，设 $f(a,k)$ 是最小整数 $d$，使得每个至少有 3 个顶点且满足 $\widetilde{\alpha}(G)\le a$ 和 $\delta(G)\ge d$ 的图 $G$ 包含 $k$ 个两两边不相交的哈密顿圈。我们证明了 $f(a,k)=\Theta\left(a+k+\frac{ak}{\log(k+2)}\right).$ 上界使用了二部洞数的删除引理、McDiarmid--Yolov 哈密顿性定理和贪心打包论证。下界由三个极值构造获得，其中对数项使用了一个没有规定二部洞的稀疏随机辅助图。