通过动态内点法实现动态最大流

本文给出一种算法，用于在经历边添加的带容量动态图中维护$(1-\epsilon)$近似最大流。在对$n$个节点图进行$m$次边添加（每条边容量为$O(\mathrm{poly}(m))$）的序列上，我们的算法运行时间为$\widehat{O}(m \sqrt{n} \cdot \epsilon^{-1})$。为获得该结果，我们针对更一般的问题设计了动态数据结构：检测经历边添加的动态图中最小费用环流的值（精确）达到给定阈值$F$的时刻。在对$n$个节点图进行$m$次边添加（每条边容量为$O(\mathrm{poly}(m))$、费用为$O(\mathrm{poly}(m))$）的序列上，我们以$\widehat{O}(m \sqrt{n})$求解该阈值最小费用流问题。我们的两种算法在面对自适应对手时均以高概率成功。我们通过将近期用于获得几乎线性时间最小费用流算法（Chen, Kyng, Liu, Peng, Probst Gutenberg, Sachdeva 2022）的内点法动态化，并引入一种用于在无向图中维护最小比率环、面对自适应对手以高概率成功的新型动态数据结构，从而得到这些结果。