周期 Riemann 函数中的对偶性与典范层

设 $f\colon{\mathbb Z}^2\to{\mathbb Z}$ 是一个 Riemann 函数，其权重 $W$ 是一个完美匹配。则存在一个 $k$-向量空间层族 $\{{{M}}_{W,{\bf d}}\}_{{\bf d}\in{\mathbb Z}^2}$，定义在一个五点拓扑空间上，它模拟了 $f$，即 $f({\bf d})=b^0({{M}}_{W,{\bf d}})$ 且 $$b^1({{M}}_{W,{\bf d}})= f^\wedge_{\bf K}({\bf d}-{\bf K})$$ 对任意 ${\bf K}\in{\mathbb Z}^2$ 成立。因此，$f$ 的 Riemann-Roch 公式等价于 ${{M}}_{W,{\bf d}}$ 的欧拉示性数计算。如果 $f$ 和 $W$ 是 $r$-周期的，则层 ${{M}}_{W,{\bf d}}$ 成为自然层环 ${{O}}={{O}}_r$ 上的有限型 ${{O}}_r$-模。我们证明在这种情况下，存在一个“典范 ${{O}}$-模” $\omega=\omega_W$ 和一个配对，对于 $i=0,1$，$$H^i(M_{W,{\bf 0}}\otimes F) \times {\rm Ext}^{1-i}(F,M_{W^\wedge_{\bf L},{\bf K}})\to H^1(\omega)\cong k$$ 当 ${\bf L}={\bf K}+{\bf 1}$ 且 ${{F}}$ 是某种类型的线丛或某种类型的摩天楼层时，该配对是完美的。特别地，当 ${{F}}$ 是线丛时，我们将上述 $b^1({{M}}_{W,{\bf d}})$ 的公式实现为类似于 Serre 对偶的对偶定理。我们证明了典范 ${{O}}$-模 $\omega_W$ 是两个模 ${{M}}\otimes_{{O}}{{M}}'$ 的张量积族中的一个相当特殊的元素，其中 ${{M}}$ 和 ${{M}}'$ 在形如 ${{M}}_{W',{\bf d}}$ 的 ${{O}}_r$-模中变化。本文不假设任何层论背景；相反，我们将所有层描述为“向量空间图”，其中每个图本质上是一个固定五点拓扑空间上的向量空间层。