可整除臂长、晶体反射与新近发现的分解列的枚举

在近期工作中,作者确定了奇素数特征 $p$ 下对称群分解矩阵的完整列,这些列由 $p$-正则划分标记,且其中每个长度被 $p$ 整除的钩具有偶臂长。在本文中我们枚举这些划分,并证明每个 $p$-权 $w$ 的块恰含 $$\binom{w+\frac{p-3}{2}}{w}$$ 个此类划分。更一般地,对任意整数 $d,e>1$,我们研究并枚举 $d$-平衡 $e$-正则划分——即每个长度被 $e$ 整除的钩其臂长被 $d$ 整除的划分。我们的第一个主要结果是:晶体(仿射)反射对所有 $d,e>1$ 保持 $d$-平衡性质。由此可知,对固定的 $d$、$e$ 与 $w$,一个 $e$-权 $w$ 的块中 $d$-平衡 $e$-正则划分的数目与 $e$-核无关。我们随后通过在 RoCK 块中工作计算该数目,得到对每个块都成立的显式二项式公式。我们还研究了紧密相关的奇序列划分。其中,我们找到了块中出现的奇序列数目的生成函数。除其表示论意义外,我们期望这些结果具有独立的组合学兴趣。