多颜色不平凰的新下界及其在公平分配中的应用

组合数学中的一个经典问题寻求低不平凰的着色。更具体地说，目标是对集合系统的元素进行着色，使得每个集合中任何颜色的出现次数尽可能均衡。我们提出了一个新的多颜色不平凰下界，表明存在一个集合系统，其中包含 n 个子集且元素集合中任意 k 着色的不平凰至少为 $\Omega\left(\sqrt{\frac{n}{\ln{k}}}\right)$。该结果改进了 Doerr 和 Srivastav [2003] 之前最好的下界 \Omega\left(\\sqrt{\\frac{n}{k}}\\right)，可能有多种应用。本文探讨了其对共识 1/k 分配至多 d 项(cd d) 可行性的影响，旨在将项分配到 k 个捆中，以便不管每个代理人被分配到哪个捆，分配都是至多 d 项 envy-free。上述下界表明 cd d 对 d \\in \\Omega\\left(\\sqrt{\\frac{n}{\\ln{k}}\\right) 是不可行的。我们进一步扩展了我们的证明技术，表明存在分配不可分割项给 k 组 n 个代理人的实例，使得 envy-freeness 和 proportionality 至多 d 项对 d \\in \\Omega\\left(\\sqrt{\\frac{n}{k^3\\ln{k}}\\right) 和 d \\in \\Omega\\left(\\sqrt{\\frac{n}{k\\ln{k}}\\right) 是不可行的。公平分配的下界改进了 Manurangsi 和 Suksompong [2022] 当前最好的下界。