拉赫纳和数列和尾概率中的算术效应的尖锐阈值

分析学中的一个经典观察断言，稀疏函数序列的性质往往类似于独立随机变量系统。例如，当$(n_k)_{k \ge 1}$满足哈达德间隙条件$n_{k+1}/n_k \ge q > 1,~k \ge 1$时，规范化求和$\sum_{n=1}^N \cos(2\pi n_k x)$，在概率空间$[0,1]$上（带巴尔赫$\sigma$-域和利斯特测度），满足中心极限定理（CLT）和迭代 logarithm 定律（LIL）。值得注意的是，当三角函数$\cos(2 \pi x)$被更一般的1周期函数$f$取代时，情况变得更为复杂，序列$(n_k)_{k \ge 1}$的细粒度算术性质便发挥作用。最相关的算术性质可表述为特定二元二次 Diophantine 方程组解的个数。最近的研究表明，LIL的有效性需要比CLT更严格的 Diophantine 准则。本文表明这仅是广泛原则的特例：在序列$(n_k)_{k \ge 1}$上存在一个尖锐阈值，可形式化为 Diophantine 满足条件，此阈值处于$\sum_{k=1}^N f(n_k x)$的尾概率从高斯行为转变为可能的混乱行为。更确切地说，设$L(N,a,b,c)$为方程$an_k - bn_\ell= c$的解数$(k,\ell)$，其中$1\leq k,\ell \leq N$。粗略地说，我们证明：若$L(N,a,b,c) \le N / g_N$，则$\mathbb{P} \left[\sum_{k=1}^N f(n_k x) > t \|f\|_2 \sqrt{N} \right]$在所有$t$达到$\sqrt{2 \log g_N}$时，都符合标准正态行为。我们还表明该准则在最优意义上是必要的：在相同前提下，此结论在该阈值之外的$t$值处可能失败。