从 $k$-forest 问题到 Dial-a-Ride 问题

$k$-forest 问题是 $k$-MST 问题和稠密-$k$-子图问题的共同推广。形式上，给定一个包含 $n$ 个顶点 $V$ 的度量空间，以及 $m$ 个需求对 $\subseteq V \times V$ 和一个“目标”$k\le m$，目标是找到一个最小成本的子图以连接至少 $k$ 个需求对。本文给出了针对 $k$-forest 问题的 $O(\min\{\sqrt{n},\sqrt{k}\})$-近似算法，改进了 Segev & Segev 此前最好的 $O(n^{2/3}\log n)$ 比率。随后，我们将该 $k$-forest 算法应用于获取若干 Dial-a-Ride 问题的近似算法。基本的 Dial-a-Ride 问题如下：给定一个包含 $n$ 个点的度量空间，其中有 $m$ 个对象，每个对象都有各自的起点和终点，以及一辆任何时候最多能承载 $k$ 个对象的车辆，目标是找到使用该车辆将每个对象从起点运送到终点的最短路径巡回方案。我们证明了针对 $k$-forest 问题的 $\alpha$-近似算法意味着针对 Dial-a-Ride 问题的 $O(\alpha\cdot\log^2n)$-近似算法。利用我们在 $k$-forest 问题上的结果，我们获得了针对 Dial-a-Ride 问题的 $O(\min\{\sqrt{n},\sqrt{k}\}\cdot\log^2 n)$-近似算法。此前已知的唯一 Dial-a-Ride 结果是 Charikar & Raghavachari 提出的 $O(\sqrt{k}\log n)$-近似；我们的结果提供了类似近似保证的不同证明——事实上，当车辆容量 $k$ 较大时，我们对他们的结果给出了轻微的改进。