泊松方程与泊松-玻尔兹曼电离子力学的有限差分近似与局部算法

我们研究了泊松方程和泊松-玻尔兹曼(PB)电离子力学函数的有限差分近似，以及用于最小化此类函数有限差分离散化的局部算法。泊松能函数的变量为电位矢量场，而PB能函数的变量则为电位矢量场和离子浓度。电位在网格单元边的中点处进行离散化，而浓度在网格点处进行离散化。局部算法是在所有网格单元上进行迭代的算法，通过保持高斯定律满足的方式在每个网格单元上局部最小化能量。我们证明了能量函数均可获得唯一最小化器，其分别为对应的泊松方程和满足电荷守恒的PB方程的解。我们识别了局部平衡条件，以 characterize 有限差分最小化器。这些条件分别对应于泊松情况下的无旋性以及PB情况下的离散玻尔兹曼分布。接下来，我们获得了相对于网格大小$h$的均匀界限和最大范数下的$O(h^2)$误差估计。详细介绍了局部算法，并提出一种用于处理泊松能函数中变量系数的新型局部移位算法。我们证明了所有这些局部算法的收敛性，并利用有限差分最小化器的 characterize 进行了论证。最后，我们present了数值测试以展示分析结果。