度量空间到低维空间的确定性在线嵌入

我们研究了度量空间到常数维度$d>1$的欧几里得空间的在线嵌入问题，对抗自适应对手。虽然$d=1$的情况已被充分理解，但对于更高维度知之甚少。特别是，即使对于$d=2$，最坏情况失真是指数增长（如直线情况）还是多项式增长（如无界$d$的情况）仍是未知的。我们的第一个结果涉及固定的{\em solid}图，即$K_5$，其边是实心区间，并配备最短路径度量。我们证明，如果输入点来自这样的度量空间，它们确实可以被在线嵌入到${\mathbb R}^2$中，且具有多项式失真。这反驳了先前认为$K_5$在平面上的拓扑不可嵌入性可用于建立指数下界的猜想。第二个结果涉及特定类型的树度量（包括例如超度量空间和HST）的在线嵌入。有点令人惊讶的是，我们证明对于此类度量，在线嵌入到${\mathbb R}^d$的最坏情况并不比离线嵌入差多少，两者都是$n^{\Theta(1/d)}$，即使当$d = \Theta(\log n)$时也是如此。这与更常见的情况形成鲜明对比，在常见情况下，在线-离线差距通常很大，甚至是指数级的。这一结果使我们能够以几乎最优的方式将度量空间到HST的概率嵌入结果转移到低维欧几里得空间。