确定性分布式扩张图分解与路由及其在分布式去随机化中的应用

在$\mathsf{CONGEST}$模型下，近期分布式图算法领域出现了一系列令人振奋、利用扩张图的工作。迄今为止，这些算法都基于两种工具：扩张图分解与扩张图路由。一个$(\epsilon,\phi)$-扩张图分解移除$\epsilon$比例的边，使得剩余的连通分量具有至少$\phi$的电导，即它们是$\phi$-扩张图；而扩张图路由允许$\phi$-扩张图中的每个顶点$v$与其他任意顶点（不仅限于其局部邻居）非常快速地交换$\text{deg}(v)$条消息。本文给出了针对这两种工具的首个高效确定性分布式算法。我们证明了$(\epsilon,\phi)$-扩张图分解可在$\text{poly}(\epsilon^{-1}) n^{o(1)}$轮内确定性地计算，其中$\phi = \text{poly}(\epsilon) n^{-o(1)}$；并且扩张图路由可在$\text{poly}(\phi^{-1})n^{o(1)}$轮内确定性地执行。两个结果均与[Chang and Saranurak, PODC 2019]和[Ghaffari, Kuhn, and Su, PODC 2017]的随机算法先前界限在亚多项式因子范围内匹配。因此，我们对现有的利用扩张图的分布式算法进行了去随机化。我们展示了可在$n^{o(1)}$轮内确定性地构造$n^{o(1)}$-扩张图上的最小生成树，并且一般图上的三角形检测与枚举可分别确定性地在$O(n^{0.58})$轮和$n^{2/3 + o(1)}$轮内解决。我们还给出了首个在$\text{poly}(\epsilon^{-1}, \log n)$轮内构造$(\epsilon,\phi)$-扩张图分解的polylogarithmic轮随机算法，其中$\phi = 1 / \text{poly}(\epsilon^{-1}, \log n)$。[Chang and Saranurak, PODC 2019]的先前算法对于任意$\phi\ge 1/\text{poly}\log n$都需要$n^{\Omega(1)}$轮。