团数的度限制半饱和数及其应用

如果添加任何非边 $e \not \in E(G)$ 会在 $G+e$ 中产生一个新的 $F$ 副本，则称图 $G$ 是 $F$-半饱和的。半饱和数 $ssat(n,F)$ 是 $n$ 阶 $F$-半饱和图的最小边数。在本文中，我们研究了在 $n$ 个顶点上且最大度至多为 $\Delta$ 的 $K_r$ 的半饱和数，记为 $ssat^{\Delta}(n,K_r)$。这项研究是由 Erd\H os, R\'enyi 和 S\'os 提出的，他们在 1966 年考虑了具有度限制的直径为 2 的图，等价于 $ssat^{\Delta}(n,K_3)$。以下是我们的一些结果。对于任意 $r \geq 4$，我们证明了极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} ssat^{cn}(n,K_r)/n$ 对所有 $0 < c \leq 1$ 都存在，除了包含在可数有理序列 $c_i \rightarrow 0$ 中的一些稀疏的 $c$ 值。此外，我们建立了该极限在 $\frac{r}{r+2} < c <1$ 时的渐近行为，并为某些特定的 $\Delta$ 确定了 $ssat^{\Delta}(n,K_r)$ 的精确值。作为一个应用，我们确定了一大类对 $(r,F)$ 的饱和数与 join 图 $K_r \vee F$ 的饱和数之间的关系。