图爆破下边理想的缺陷反链与多重分次符号缺陷级数

本文通过指数向量的有限反链研究边理想的符号缺陷函数。设 $G$ 为有限简单图，$I(G)$ 为其边理想。对于每个符号次数 $s$，我们定义符号指数区域 $\mathcal{P}_s(G)$、普通指数区域 $\mathcal{O}_s(G)$ 以及符号缺陷反链 $\mathcal{D}_s(G)=\min\big(\mathcal{P}_s(G)\setminus \mathcal{O}_s(G)\big)$，其中最小值是关于分量偏序取的。我们证明 $\mathcal{D}_s(G)$ 给出了一个有限障碍集，控制着商 $I(G)^{(s)}/I(G)^s$ 的极小单项式生成元。我们的主要结果是爆破传递公式。若 $G^{\mathbf n}$ 是由 $G$ 将每个顶点 $v_i$ 替换为大小为 $n_i$ 的独立集所得到的图，则对于每个 $s\geq 1$，$$\operatorname{sdefect}(I(G^{\mathbf n}),s) = \sum_{\mathbf a\in \mathcal D_s(G)} \prod_{i=1}^{r} \binom{a_i+n_i-1}{n_i-1}.$$ 我们进一步将该公式精细化为多重分次符号缺陷级数，它记录了 $I(G^{\mathbf n})^{(s)}/I(G^{\mathbf n})^s$ 极小生成元的完整多重次数分布。作为应用，我们用整数分划对完全图的缺陷反链进行了分类，并推导出了完全多部图、完全分裂图和奇环爆破的显式符号缺陷公式。我们还研究了图连接下的符号缺陷反链，并得出了在爆破参数下的多项式性与有理生成函数推论。这些结果为边理想的符号缺陷提供了一个统一的基于反链的框架，并将先前若干逐案计算转化为单一传递原理的推论。