更大、更光滑函数的Shiu定理

本文拓展了Shiu的 Brun-Titchmarsh 定理，允许更大或光滑支持的函数。具体而言，设 $f$ 为非负乘性函数。若存在 $\beta<1$ 使得 $f(p^l)\ll (\log\log x)^{l\beta}$ 对每个素数 $p$ 和每个 $l>1$ 成立，且若 $f(n)\ll \max\{n^\epsilon,(\log x)^\epsilon\}$ 对每个 $\epsilon>0$ 成立，则有 $$\sum_{\substack{x\leq n\leq x+y \\ n\equiv a\pmod k}}f(n)\ll \frac{y}{\phi(k)(\log x)^{1-\epsilon_0}}\exp\left(\sum_{\substack{p\leq x \\ p\nmid k}}\frac{f(p)}{p}\right)$$ 对每个 $\epsilon_0>0$ 成立，其中 $x$、$y$、$k$ 如同Shiu原文中那样，且 $(a,k)=1$。此外，我们证明若 $f$ 为 $Q$-光滑支持函数，则存在常数 $C$ 使得 \sum_{\substack{x\leq n\leq x+y \\ n\equiv a\pmod k}}f(n)\ll \frac{y}{\phi(k)(\log x)^{1-\epsilon_0}}\exp\left(\\sum_{\\substack{p\leq x \\ p\nmid k}}\\frac{f(p)}{p}\\right)\\rho(u)^C, 其中 $u=\\frac{\\log x}{\\log Q}$，$\rho$ 为 Dickman-de Bruijn 函数，$C$ 取决于我们选择 $f(p^l)\leq A_1^l$ 还是 $f(p^l)\ll (\log\log x)^{l\beta}$。我们还给出关于除数函数到大幂次以及光滑数在短区间的应用。