四阶奇异扰动边界值问题的矩形 Morley 有限元在 Shishkin 网格上的均匀误差分析

考虑在 $\mathbb{R}^2$ 中的单位正方形 $\Omega$ 上具有齐次 Dirichlet 边界条件的奇异扰动反应扩散问题 $\varepsilon^2\Delta^2 u - \mathrm{div}\left(c\nabla u\right) = f$. 其解通常在 $\Omega$ 的所有边上包含边界层. 通过在 Shishkin 网格上使用矩形 Morley 元素进行有限元离散化. 在针对该问题天然的能量型范数中, 我们证明计算解误差收敛率为 $O(\varepsilon^{1/2}N^{-1}+\varepsilon N^{-1}\ln N + N^{-3/2})$, 其中 $N$ 为每个坐标方向的网格区间数. 因此在 $\varepsilon \approx N^{-1}$ 的最困难情形下, 本方法达到 $O(N^{-3/2})$ 的收敛率, 这一结果通过数值实验证明是尖锐的, 且优于 Meng & Stynes 2019 年在相同网格上使用 Adini 有限元素求解相同问题时证明的 $O(N^{-1/2})$ 收敛率.