偏微分方程解奇点的数据驱动自监督学习发现
数值分析
2025-07-01 v1 机器学习
数值分析
机器学习
摘要
函数中奇点的出现构成了科学计算中的根本性挑战，显著削弱了数值方案在函数逼近、数值积分以及偏微分方程求解等方面的效果。若奇点位置未知，问题更为复杂，这在求解偏微分方程时常发生。因此，检测奇点对于开发高效自适应方法以降低各种应用中的计算成本至关重要。本文我们在纯数据驱动的设置下考虑奇点检测，即仅包含给定数据（如网格的顶点集合）。为克服原始无标签数据上的局限，我们提出一种自监督学习（SSL）框架用于估计奇点位置。关键组成部分是作为 SSL 预期任务的过滤程序，其中 presented 两种过滤方法，分别基于 最近邻和核密度估计。我们提供数值示例，说明在不使用过滤处理的原始数据下可能导致的异常或不准确结果。 presented 各种实验，表明所提出的方法能够处理输入扰动、标签损坏以及各种类型的奇点，如内部圆、边界层、同心半圆等。
引用
@article{arxiv.2506.23344,
title = {Data-Driven Self-Supervised Learning for the Discovery of Solution Singularity for Partial Differential Equations},
author = {Difeng Cai and Paulina Sepúlveda},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.23344},
year = {2025}
}