禁止反完全平面 minors：诱导 Erdős–Pósa 性质与 QP 中的最大独立集

Erdős–Pósa 定理断言：每个不含 k 个两两不相交的环的图 G 都存在一个大小为 f(k) 的顶点集 X，使得 G\X 不含环。Robertson 和 Seymour 证明了该 Erdős–Pósa 性质对任意平面图 H 的 H-minor 模型同样成立。等价地，若 G 不含 k 个两两距离至少为 1（即不相交）的 H 的 minor 模型，则可移除 f(k,H) 个半径为 0 的球（即顶点）使图成为 H-minor 自由的。我们表明这一粗图论观点可推广到距离至少为 2 与半径为 1 的球的情形，从而得到平面 minors 的诱导 Erdős–Pósa 性质。即，每个不含 k 个两两非相邻的平面图 H 的 minor 模型的图 G（我们称 G 为 kH-自由的）可通过移除 f(k,H) 个邻域而成为 H-minor 自由的。证明依赖于如下事实：稀疏的 kH-自由图具有线性多个独立的大凸出结构。同样的方法给出：稀疏的 kH-自由图可通过删除 O(log n) 个顶点而成为 H-minor 自由的（从而具有对数树宽）。这为 kH-自由图上的最大独立集问题给出了一个拟多项式算法。