关于奇数阶 $n$ tournament 中的 5 环与强 5 子 tournament

设 $T$ 为阶数为奇数的 $n\ge 5$ 的 tournament，$c_{m}(T)$ 为其 $m$-环的个数，$s_{m}(T)$ 为其强连通 $m$ 子 tournament 的个数。由于 L.W. Beineke 和 F. Harary 的工作，已知 $s_{m}(T)\le s_{m}(RLT_{n})$，其中 $RLT_{n}$ 为阶数为 $n$ 的 regular locally transitive tournament。对于 $m=3$ 和 $m=4$，有 $c_{m}(T)=s_{m}(T)$，但 $m\ge 5$ 时并非如此。正如 J.W. Moon 在 1966 年的注释中指出的，一般情况下（即 $m\ge 5$）确定 $c_{m}(T)$ 的最大值似乎非常困难。本文基于 Komarov-Mackey 近期获得的 $c_{5}(T)$ 的公式，我们证明 $c_{5}(T)\le (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)/160$，且等号成立当且仅当 $T$ 为 doubly regular。还推导出 $s_{5}(T)$ 的公式。借助该公式，我们证明 $s_{5}(T)\le (n+1)n(n-1)(n-3)(11n-47)/1920$，且等号成立当且仅当 $T=RLT_{n}$ 或 $n=7$ 时 $T$ 为 regular 或 $n=5$ 时 $T$ 为 strong。还证明对于阶数为奇数的 $n\ge 9$ 的 regular tournament $T$，有下界 $(n+1)n(n-1)(n-3)(17n-59)/3840\le s_{5}(T)$，且等号成立当且仅当 $T$ 为 doubly regular。这些结果与作者最近为 $c_{5}(T)$ 获得的结果进行了比较。