扭曲的 $\hbox{PGL}(2)$ 和 $\hbox{PGL}(3)$ $\mathrm{L}$-函数的临界零点与非条件均值定理

设 $\Pi_{0}$ 为 $\mathrm{PGL}_{3}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的一个尖点自守表示。本文中，我们使用 Levinson 方法证明，当 $Q\to \infty$ 时，$L$-函数 $L(s, \Pi_{0}\,\times\, \chi)$ 的零点中至少有 $1/9$ 位于临界线上，其中 $\chi$ 遍历导子不超过 $Q$ 的本原 Dirichlet 特征族。当 $\Pi_{0}$ 是自对偶时，此结果是非条件的，否则在温和条件下成立。关键技术输入是一个新的渐近公式，该公式对 $L(s, \Pi_{0}\times \chi)$ 与一个系数任意的 Dirichlet 多项式的乘积的均方在 $T$-和 $Q$-两方面给出了幂次节省的误差项，适用于范围 $Q^{\epsilon}\le T \le Q^{1/3-\epsilon}$。当 $T=Q^{\epsilon}$ 时，我们的渐近公式允许长度为 $\theta <1/2-\epsilon$ 的 Dirichlet 多项式；当 $\theta=0$ 时，它给出了大小为 $O_{\epsilon}(Q^{7/4+\epsilon})$ 的强误差项。此外，我们的结果为大扭曲和大垂直平移的 CFKRS 猜想提供了证据。我们还获得了 $\mathrm{PGL}_{2}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的相应结果，这些结果完全无条件，定量上更强，并且似乎也是新的。这项工作为 $L$-函数发展了一个精细、灵活且统一的渐近大筛法版本，该版本不需要任何未经证明的广义 Ramanujan 猜想的进展。$\Pi_{0}$ 的算术在我们的论证中起着关键而微妙的作用。这项工作还广泛使用 Mathematica 来处理各种复杂的 Hecke 代数计算。我们的均值定理很容易应用于解析数论中的许多其他问题。