$d$-正则树上环渗流的临界曲线

我们考虑由 $d$-正则树上的随机游走环的泊松系综形成的簇，其强度参数为 $\alpha>0$，消灭参数为 $\kappa>-1$；后者惩罚（$\kappa > 0$）或有利于（$\kappa <0$）大环的出现。我们获得了渗流相变的临界曲线 $\kappa\mapsto \alpha_c(\kappa)$ 的隐式公式；该曲线为正当且仅当 $\kappa>\kappa_c = \frac{2\sqrt{d-1}}{d}-1$，在 $\kappa_c$ 之外可微，并且当 $\kappa\downarrow\kappa_c$ 时具有阶 $\sqrt{\kappa-\kappa_c}$，当 $\kappa\to\infty$ 时具有阶 $(1+\kappa)^2$。我们证明对于每个 $\kappa>-1$，无限簇存在当且仅当 $\alpha>\alpha_c(\kappa)$。最后，我们确定了磁化率和渗流概率的近临界行为：对于 $\kappa>\kappa_c$，临界指数取平均场值，而对于 $\kappa=\kappa_c$，相变是更高阶的，渗流概率在 $\alpha-\alpha_c$ 中二次衰减。