通过优于折半搜索时间的打包算法计数稀疏子图

Vassilevska 和 Williams (STOC 2009) 展示了如何在 $n^{k/2+O(1)}$ 时间内计数 $n$ 顶点图中 $k$ 个顶点的简单路径和 $k/2$ 条边的匹配。同年，Koutis 和 Williams (ICALP 2009) 以及 Bj"orklund 等人 (ESA 2009) 分别给出了具有相同运行时间的两种不同算法，用于在 $n^{st/2+O(1)}$ 时间内计数从 $n$ 元全集的 $s$ 大小子集族中抽取的 $t$ 元组两两不相交集合。随后，Alon 和 Gutner (TALG 2010) 表明，当通过颜色编码 (color coding) 进行计数时，这些问题具有 $\Omega(n^{\lfloor st/2\rfloor})$ 和 $\Omega(n^{\lfloor k/2\rfloor})$ 的下界。在此我们展示了可以做得更好，即我们证明了“折半搜索”(meet-in-the-middle) 指数 $st/2$ 可以被突破，并给出了一种算法，当 $t$ 为三的倍数时，其计数时间为 $n^{0.45470382 st + O(1)}$。这意味着对于路径宽度 $p\ll k$ 的 $k$ 顶点固定子图，存在算法可在 $n^{0.45470382k+2p+O(1)}$ 时间内计数其在 $n$ 顶点图中的出现次数，改进了上述三种针对路径和匹配的算法，并规避了颜色编码的下界。我们还给出了计数 $s=2,3,4$ 时 $t$ 元组不相交 $s$ 集合的改进界限。我们的算法使用了快速矩阵乘法。我们提出了一个论点，表明要突破折半搜索屏障，这是必要的。