计数小型诱导子图：基于对称性属性的难度

Jerrum和Meeks（TOCT, JCSS 2015）针对固定图属性 $\Phi$ 引入了计数问题 $\text{IndSub}(\Phi)$：给定输入图 $G$ 和 $k\in\mathbb N$，计算满足诱导子图 $G[S]$ 满足 $\Phi$ 的 $k$ 顶点子集 $S \subseteq V(G)$ 的数量。对于递归可枚举的 $\Phi$，已知 $\text{IndSub}(\Phi)$ 要么是 #W[1]-难的，要么是固定参数可处理的。然而，直接根据 $\Phi$ 进行分类仍然悬而未决。特别是，对于没有非平凡自同构的图属性，其状态一直是开放的，Roth（Comput.~Sci.~Rev.~2026）在最近关于参数化计数的综述中也提到了这一点。这是一个自然的属性，它规避了当前所有已知的证明 #W[1]-难度的方法，包括最近由Curticapean和Neuen（SODA~2025）引入的基于傅里叶分析的通用工具包。在本文中，我们通过构建“团脚手架”，即属性的问题特定限制，使得能够从 $k$-团问题进行归约，证明了计数没有非平凡自同构的诱导 $k$ 顶点图是 #W[1]-难的。更一般地，我们证明了对于每个有限群 $Q$，计数自同构群为 $Q$ 的 $k$ 顶点诱导子图是 #W[1]-难的。