Bounded Clique-width 图中等价 k 着色的计数

对于图 $G$，若其任意两个 color class 的大小相差不超过 one，则称其为 $G$ 的 proper $k$-coloring 的等价 着色。等价 $k$-Coloring 问题询问给定图 $G$ 和整数 $k$，$G$ 是否存在等价 $k$-着色。Bodlaender 和 Fomin 证明该问题在 bounded treewidth 图上是多项式时间可解的，而在 cograph 上保持 NP-hard，从而在常数 clique-width 图上亦如此。Fellows 等人进一步证明该问题在由 tree-width（因此 clique-width）加上颜色数 $k$ 参数化时为 $\mathsf{W[1]}$-hard。我们首先展示对于每个固定 $k$，在给定 clique-width 表达式的 bounded clique-width 图类中，计数等价 $k$-着色是多项式时间可解的。随后我们证明在 $\mathsf{SETH}$ 下，此算法中对 clique-width 的依赖是本质最优的。因此，我们的结果为 $k$+clique-width 组合参数下等价 $k$-Coloring 的复杂度提供了相当紧密的图景。其次，我们细化了针对线性 setting 的 clique-width 算法。我们展示存在算法，给定整数 $k\ge 1$ 和一个 $n$ 顶点图 $G$ 及其构造 $G$ 的 linear $w$-expression，可在时间 $\max\{1,2^k-2\}^w\cdot n^{k+O(1)}$ 计算 $G$ 的等价 $k$-着色数。第三，我们考虑不同的结构限制，即 $P_t$-free 图。若图不包含作为诱导子图的 $t$ 顶点的路径，则称其为 $P_t$-free 图。这与 bounded clique-width 是不同的设置；特别是，已知 $P_5$-free 图具有 unbounded clique-width。尽管如此，我们展示对于每个 $P_t$-free 图 $G$，可在子指数时间计算 $G$ 的等价 list 3-着色数。