对称旅行商问题中频率 $K_i$ 的研究

本文研究了对称旅行商问题 (TSP) 中频率 $K_i$ ($i\in[4,n]$) 以刻画 OHC (optimal Hamiltonian cycle) 中边结构属性。对于给定的 $K_i$ 中的完整图 $K_n$，在固定端点的 $K_i$ 中的 ${i}\choose{2}$ 个最优 $i$ 顶点路径 (最优 $i$ 顶点路径) 中计算频率 $K_i$。对于与 $K_i$ 相关的 OHC 边，其频率大于 $\frac{1}{2}{i}\choose{2}$；而与 OHC 无关的普通边的频率小于 $2(n-3)$。此外，给定一个包含与 $K_n$ 相关的 OHC 边的频率 $K_i$，该 OHC 边在平均情况下在 $K_i$ 中的频率大于 $\frac{1}{2}{i}\choose{2}$。还发现 OHC 边包含在最优 $i$ 顶点路径中的概率随 $i\in[4,n]$ 增大或在 $i$ 减小至 $i+1\leq n$ 时保持稳定。当频率 $K_i$ 用于计算边的频率时，每个 OHC 边在 $i=P_0$ 处达到自身峰值频率，其中 $P_0=\frac{n}{2}+2$（当 n 为偶数）或 $\frac{n+1}{2}+1$（当 n 为奇数）。对于 OHC 之外的每个普通边，其包含在最优 $i$ 顶点路径中的概率在平均情况下随 $i$ 递减。此外，当 $i \geq i_d$ 时，其中 $i_d = O(n^{\frac{4}{7}})$ 为满足不等式 $\frac{(n-2)(n-3) - (i_d-2)(i_d-3)}{(n-2)(n-3) - (i_d-1)(i_d-2)} \geq \sqrt{1 + \frac{2}{i_d(i_d+1)}}$ 的最小数值，普通边的概率必然递减。基于上述发现，提出一种在 $O(n^2i_d^42^{i_d})$ 时间复杂度内求解 OHC 的动态规划算法。实验在各种 TSP 实例上执行，以验证这些发现。