凸四次问题：齐次化梯度法与预条件处理

我们考虑一个凸最小化问题，其目标函数为四次齐次多项式与线性项之和。该任务作为具有凸差结构的二次反问题算法中的子问题出现。我们设计了一种称为齐次化梯度（Homogenized Gradient）的一阶方法及其加速版本，它们在相对精度下分别享有$\mathcal{O}(\kappa^2/K^2)$和$\mathcal{O}(\kappa^2/K^4)$的快速收敛速率，其中$K$为迭代次数。常数$\kappa$为问题的四次条件数。随后，我们证明对于某类问题，可以计算一个预条件子，使该条件数为$\sqrt{n}$，其中$n$为问题维度。为此，我们研究了更一般的问题：寻找由二次映射复合的$\ell_p$范数的最佳二次逼近。我们的构造涉及所谓Lewis权重的推广。