计数离散(非)交叉子串

设 $w$ 为长度为 $n$ 的字符串。计数跨越位置的因子问题——来自教材 ``125 Problems in Text Algorithms'' 中的第 64 题 [Crochemore, Leqroc, and Rytter, 2021]，要求计数包含（resp. 不包含）位置 $k$ 的子串个数 $\mathcal{C}(w,k)$（resp. $\mathcal{N}(w,k)$）。该教材提供的解答在单个位置 $k$ 上以 $O(n)$ 时间计算 $\mathcal{C}(w,k)$ 和 $\mathcal{N}(w,k)$，因此直接应用需要对 $w$ 中所有位置 $k = 1, \ldots, n$ 采用 $O(n^2)$ 时间。其解决方案是为常数大小字母表设计的。本文提出了新的算法，在一般有序字母表上以 $O(n)$ 总时间计算 $\mathcal{C}(w,k)$，在线性可排序字母表上以 $O(n)$ 总时间计算 $\mathcal{N}(w,k)$，适用于 $w$ 中所有位置 $k = 1, \ldots, n$。