基于梯度的块坐标下降算法求解矩阵非正交联合近似对角化的收敛性

本文提出一种基于梯度的块坐标下降（BCD-G）框架，用于求解定义在复Stiefel流形与特殊线性群之积上的矩阵联合近似对角化问题。我们采用基于Riemannian梯度的块优化，而非循环方式。为更新复Stiefel流形中的第一块变量，我们使用著名的线搜索下降法。为更新特殊线性群中的第二块变量，基于四类不同的初等变换，我们构造了GLU、GQU和GU三类，进而得到三种BCD-G算法：BCD-GLU、BCD-GQU和BCD-GU。在迭代序列有界的假设下，利用Łojasiewicz梯度不等式，我们建立了这三种算法的全局与弱收敛性。我们还提出一种基于梯度的Jacobi型框架，用于求解定义在特殊线性群上的矩阵联合近似对角化问题。如同BCD-G情形，利用GLU和GQU类初等变换，我们聚焦于Jacobi-GLU和Jacobi-GQU算法，并建立了它们的全局与弱收敛性。本文所述的所有算法与收敛结果亦适用于实情形。