广义 Fadell-Neuwirth 短正合序列的分解

我们研究了混合 braid 群的 Fadell-Neuwirth 短正合序列及其可能的分解。在某些情况下，我们确定投影从混合 braid 群 $B_{n_{1},\ldots,n_{k}}(M)$ 到 $B_{n_{1},\ldots, n_{k-q}}(M)$ admits 章节的条件，其中 $M$ 为 torus 或 Klein bottle，$n_{1}, \ldots, n_{k},q \in \mathbb{N}$，且 $1\leq q \leq k-1$。对于 $k\geq 2$ 和 $q=k-1$，我们证明该投影 admits 章节当且仅当 $n_{1}$ 整除 $n_{i}$ for all $i=2,\ldots, k$。我们提出了一些在 $k\geq 3$ 和 $q=1$ 情况下的部分结论。为获得我们的結果，我们计算并利用适合的混合 braid 群 $M$，以及 certain key quotients 在我们的分析中发挥着中心作用。