Maker-Breaker $C_k$-博弈中的构造性获胜 Breaker 策略

Maker-Breaker 子图博弈是最著名的组合博弈之一。对于 $n,q\in\mathbb{N}$ 和完全图 $K_n$ 的固定子图 $C$，两个玩家（称为 Maker 和 Breaker）轮流声明 $K_n$ 的边。Maker 每轮声明一条未声明的边，而 Breaker 每轮最多可以声明 $q$ 条边。如果 Maker 能够声明 $C$ 的一个副本的所有边，则他赢得博弈。否则 Breaker 获胜。Bednarska 和 Łuczak (2000) 在一项里程碑式的工作中确定了阈值偏差的渐近行为为 $\Theta(n^{1/m(C)})$，其中 $m(C)$ 是 $C$ 的 2-密度，他们分析了随机策略。此后，确定阈值偏差（如果存在）及其相应策略，从而在 $\Theta$-记号中获得尖锐常数，一直是一个重要的开放问题。一个著名的案例是三角形博弈（$C=C_3$），由 Chvátal 和 Erdős (1978) 研究，他们证明了如果 $q\le \sqrt{2n}$ 则 Maker 获胜，如果 $q\ge2\sqrt{n}$ 则 Breaker 获胜。Glazik 和 Srivastav (2022) 通过势方法改进了这一点，表明 Breaker 在 $q\ge\sqrt{8/3}\sqrt{n}$ 时已经获胜。Spencer (2019) 猜想这可以推广到任意子图 $C$。我们证实了这一猜想，提出了 Breaker 的通用获胜策略，前提是势函数满足依赖于 $C$ 的条件。利用这一结果，我们为任意但固定的 $k \geq 4$ 的 $k$-圈 Maker-Breaker 博弈中的 Breaker 提供了第一个构造性（多项式时间）策略：如果 $q>\sqrt[k-1]{(k-1)\big(\frac{2(k-1)}{k}\big)^{k-2}n^{k-2}}$，则 Breaker 获胜。根据 Bednarska 和 Łuczak (2000) 的结果，我们的界是渐近最优的。然而，我们的常数优于他们的随机策略所产生的常数。最近，Sowa 和 Srivastav (2025) 给出了 $C_4$ 的第一个构造性 Maker 策略。我们的工作可能激发对 $C_k, k \ge 5$ 的 Maker 策略的研究，从而缩小与所提出的 Breaker 界之间的差距。