阶为 25 的交换非幺环上自正交码的构造

近年来，非幺环上的码得到了研究。特别地，人们正在考虑阶为 $p^2$（其中 $p$ 为素数）的交换非幺环 $I_p$（在 Fine 的分类中）上的码。对于 $p=2$（对应地 $p=3$），已经研究了 $I_p$ 上的三类码：$I_p$ 上的自正交码、拟自对偶码和自对偶码。利用一些相关的质量公式和构建性构造，在特定较小长度下，已经完成了这些码直至置换等价（对应地单项式等价）的分类。在本文中，我们取素数 $p=5$ 并考虑环 $I_5$。我们引入了 $I_5$ 上线性码的概念。我们还定义了线性 $I_5$ 码的相同三类，研究了这些 $I_5$ 码的结构，并将它们与其相关的剩余码和挠码联系起来。对于给定的类型 $\{ k_1 , k_2 \}$，我们在长度至多为 $4$ 时，完全分类了这三类码直至单项式等价。此外，在 Alahmadi 等人关于 $I_p$ 上自正交码质量公式的论文中，$I_5$ 上拟自对偶码的分类存在错误，例如某些码的自同构群阶数不正确，或者在长度 $n=2$ 且类型 $\{ 1 , 0 \}$ 以及长度 $n=3$ 且类型 $\{ 1, 1 \}$ 时与 $I_p$ 上自正交码的质量公式不一致。我们纠正并改进了这些结果。